Кардинал срещу редови
В ежедневния ни живот използването на числа може да приеме различни форми в различни ситуации. Например, когато броим, за да разберем размера на колекция от обекти, ги броим като едно, две, три и т.н. Когато искаме да преброим нещо, за да разберем положението на обектите, ги броим като първо, второ, трето и т.н. При първата форма на броене се казва, че числата са кардинални числа. При втората форма на броене числата се считат за поредни номера. В този контекст понятията кардинал и ред са изцяло въпрос на лингвистика; кардинал и ред са прилагателни.
Разширяването на концепцията върху множествата в математиката обаче разкрива много по-дълбока и широка перспектива и не може да се разглежда с прости думи. В тази статия ще се опитаме да разберем основните понятия за кардинални и редови числа в математиката.
Формалните дефиниции на кардинални и редови числа са дадени в теорията на множествата. Определенията са сложни и за да ги разберем в съвършен смисъл са необходими основни познания в теорията на множествата. Затова ще се обърнем към няколко примера, за да разберем понятията евристично.
Да разгледаме двата комплекта {1,3,6,4,5,2} и {автобус, кола, ферибот, влак, самолет, хеликоптер}. Всеки набор изброява набор от елементи и ако преброим броя на елементите, е очевидно, че всеки има един и същ брой елементи, което е 6. Пристигайки в този извод, ние взехме размера на един набор и сравнихме с друг с помощта на номер. Такова число се нарича кардинално число. Следователно можем да кажем, че кардиналното число е число, с което можем да сравним размера на крайните множества.
Отново първият набор от числа може да бъде подреден във възходящ ред, като се има предвид размерът на всеки елемент и се сравняват. В процеса на поръчка номерата се считат за кардинали. По същия начин множеството от всички неотрицателни цели числа може да бъде подредено в набор; т.е. {0,1,2,3,4, …..}. Но в този случай размерът на множеството става безкраен и даването му по реда на ординалите не е възможно. Без значение колко голямо число сте избрали, за да дадете размера на множеството, все пак ще има числа, останали извън набора, който сте избрали и които са неотрицателни цели числа.
Следователно математиците определят този безкраен кардинал (който е първият) като Aleph-0, написан като א (първата буква в ивритската азбука). Формално поредният номер е видът на поръчката на добре подреден комплект. Следователно, редовият номер на крайните множества може да бъде даден чрез кардинални числа, но за безкрайните множества ординалният е даден чрез трансфинитни числа като Aleph-0.
Каква е разликата между кардинални и редови числа?
• Кардиналният номер е число, което може да се използва за броене или за даване на размера на краен подреден набор. Всички кардинални числа са редови.
• Поредните номера са числа, използвани, за да дадат размера както на крайни, така и на безкрайно подредени множества. Размерът на крайните подредени множества се дава от обичайните индуистко-арабски алгебрични цифри, а безкрайният размер на множеството се дава от трансфинитни числа.
