Реални числа срещу въображаеми числа
Числата са математически обекти, които се използват за преброяване и измерване. Дефиницията му се е променила през годините с добавяне на нула, отрицателни числа, рационални числа, ирационални числа и въображаеми числа. Въпреки че абстрактната основа на числовите системи е свързана с алгебрични структури като групи, пръстени и полета, тук е представена само интуитивна идея.
Какво е реално число?
Неофициално определящо, реално число е число, чийто квадрат е неотрицателен. В математическа нотация ние обозначаваме множеството реални числа със символа R. Следователно за всички x, ако x ϵ R, тогава x 2 ≥ 0. По по-строг начин може да въведе множеството от реални числа като уникалното, пълно изцяло подредено поле с двоичната операция + и. заедно с отношението на реда <. Тази връзка на реда следва закона за трихотомията, който гласи, че като се имат предвид две реални числа x и y, има едно и само едно от тези 3; x> y, x <y или x = y.
Реалното число може да бъде алгебрично или трансцендентално в зависимост от това дали е корен от полиномиално уравнение с целочислени коефициенти или не. Също така реалното число може да бъде рационално или ирационално в зависимост от това дали може да бъде изразено като съотношение от две цели числа или не. Например 2.5 е реално число, което е алгебрично и рационално, но ᴫ е ирационално, както и трансцендентално.
Наборът от реални числа е пълен. Това означава, че за всяко непразно подмножество от реални числа, което е ограничено по-горе, има най-малко горна граница и от това може да се заключи, че за всяко непразно подмножество от реални числа, което е ограничено отдолу, има най-голямата долна граница. Това отличава множеството реални числа от множеството рационални числа. Може да се твърди, че множеството реални числа се изгражда чрез запълване на празнините от множество непълни рационални числа, като пропуските са ирационални числа.
Какво е въображаемо число?
Въображаемо число е число, чийто квадрат е отрицателен. С други думи, числа като √ (-1), √ (-100) и √ (- e) са въображаеми числа. Всички въображаеми числа могат да бъдат записани под формата ai, където i е „въображаема единица“√ (-1), а a е ненулево реално число. (Обърнете внимание, че i 2 = -1). Въпреки че тези цифри изглеждат нереални и както подсказва името, не съществуват, те се използват в много важни приложения от реалния свят, в области като авиацията, електрониката и инженерството.
Каква е разликата между реални числа и въображаеми числа?
• Квадратът на реалното число е неотрицателен, но квадратът на въображаемо число е отрицателен.
• Наборът от реални числа образува пълно изцяло подредено поле, докато наборът от въображаеми числа не е нито пълен, нито подреден.
