Дискретна функция срещу непрекъсната функция
Функциите са един от най-важните класове математически обекти, които се използват широко в почти всички подпрограми на математиката. Тъй като имената им подсказват, както дискретни функции, така и непрекъснати функции са два специални типа функции.
Функцията е връзка между два набора, дефинирани по такъв начин, че за всеки елемент от първия набор стойността, която му съответства във втория набор, е уникална. Нека f е функция, дефинирана от множеството A в множество B. Тогава за всеки x ϵ A, символът f (x) означава уникалната стойност в множеството B, която съответства на x. Нарича се образът на x под f. Следователно, отношението f от A към B е функция, ако и само ако за, всеки xϵ A и y ϵ A; ако x = y, тогава f (x) = f (y). Множеството A се нарича домейн на функцията f и това е множеството, в което е дефинирана функцията.
Например, разгледайте връзката f от R в R, дефинирана от f (x) = x + 2 за всеки xϵ A. Това е функция, чийто домейн е R, тъй като за всяко реално число x и y x = y предполага f (x) = x + 2 = y + 2 = f (y). Но връзката g от N в N, дефинирана от g (x) = a, където 'a' е прост фактор на x, не е функция като g (6) = 3, както и g (6) = 2
Какво е дискретна функция?
Дискретна функция е функция, чийто домейн е най-много броим. Просто това означава, че е възможно да се направи списък, който да включва всички елементи на домейна.
Всеки краен набор е най-много преброен. Множеството от естествени числа и множеството от рационални числа са примери за най-много преброими безкрайни множества. Множеството реални числа и множеството ирационални числа не са най-много преброени. И двата комплекта са безброй. Това означава, че е невъзможно да се направи списък, който да включва всички елементи на тези набори.
Една от най-често срещаните дискретни функции е факториалната функция. f: NU {0} → N рекурсивно дефинирано от f (n) = nf (n-1) за всеки n ≥ 1 и f (0) = 1 се нарича факториална функция. Обърнете внимание, че неговият домейн NU {0} е най-много преброим.
Какво е непрекъсната функция?
Нека f е такава функция, че за всяко k в областта на f, f (x) → f (k) като x → k. Тогава f е непрекъсната функция. Това означава, че е възможно f (x) да се направи произволно близо до f (k), като се направи x достатъчно близо до k за всяко k в областта на f.
Да разгледаме функцията f (x) = x + 2 на R. Може да се види, че като x → k, x + 2 → k + 2, което е f (x) → f (k). Следователно f е непрекъсната функция. Сега, разгледайте g върху положителни реални числа g (x) = 1, ако x> 0 и g (x) = 0, ако x = 0. Тогава тази функция не е непрекъсната функция, тъй като границата на g (x) не съществува (и следователно не е равно на g (0)) при x → 0.
Каква е разликата между дискретна и непрекъсната функция?
• Дискретна функция е функция, чиято област е най-много преброена, но не е необходимо да е така при непрекъснати функции.
• Всички непрекъснати функции ƒ имат свойството, че ƒ (x) → ƒ (k) като x → k за всяко x и за всяко k в областта на ƒ, но това не е така при някои дискретни функции.
