Паралелограма срещу Четириъгълник
Четириъгълниците и успоредниците са многоъгълници, открити в Евклидовата геометрия. Паралелограмата е частен случай на четириъгълника. Четириъгълниците могат да бъдат или равнинни (2D), или триизмерни, докато паралелограмите винаги са равнинни.
Четириъгълник
Четириъгълникът е многоъгълник с четири страни. Той има четири върха, а сумата от вътрешните ъгли е 3600 (2π rad). Четириъгълниците се класифицират в самопресичащи се и прости четириъгълници. Самопресичащите се четириъгълници имат две или повече страни, които се пресичат една друга, и по-малки геометрични фигури (като триъгълници се образуват вътре в четириъгълника).
Простите четириъгълници също се делят на изпъкнали и вдлъбнати четириъгълници. Вдлъбнатите четириъгълници имат съседни страни, образуващи рефлексни ъгли във фигурата. Простите четириъгълници, които нямат рефлексни ъгли вътре, са изпъкнали четириъгълници. Изпъкналите четириъгълници винаги могат да имат теселации.
Основна част от геометрията на четириъгълниците в началните нива се отнася до изпъкналите четириъгълници. Някои четириъгълници са ни много познати от дните на началните училища. Следва диаграма, показваща различни изпъкнали четириъгълници.
Паралелограма
Паралелограмът може да бъде дефиниран като геометрична фигура с четири страни, с противоположни страни, успоредни една на друга. По-точно това е четириъгълник с две двойки успоредни страни. Тази паралелна природа дава много геометрични характеристики на паралелограмите.
Четириъгълникът е успоредник, ако са намерени следните геометрични характеристики.
• Две двойки противоположни страни са еднакви по дължина. (AB = DC, AD = BC)
• Две двойки противоположни ъгли са еднакви по размер. (
)
• Ако съседните ъгли са допълващи
• Чифт страни, които се противопоставят една на друга, са успоредни и еднакви по дължина. (AB = DC и AB∥DC)
• Диагоналите се разделят наполовина (AO = OC, BO = OD)
• Всеки диагонал разделя четириъгълника на два конгруентни триъгълника. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Освен това сумата от квадратите на страните е равна на сумата от квадратите на диагоналите. Това понякога се нарича закон на паралелограма и има широко приложение във физиката и инженерството. (AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA 2 = AC 2 + BD 2)
Всяка от горните характеристики може да се използва като свойства, след като се установи, че четириъгълникът е успоредник.
Площта на успоредника може да се изчисли чрез произведението на дължината на едната страна и височината до противоположната страна. Следователно площта на успоредника може да бъде посочена като
Площ на паралелограма = основа × височина = AB × h
Площта на успоредника е независима от формата на отделния успоредник. Това зависи само от дължината на основата и перпендикулярната височина.
Ако страните на успоредник могат да бъдат представени от два вектора, площта може да бъде получена от величината на векторното произведение (кръстосано произведение) на двата съседни вектора.
Ако страните AB и AD са представени съответно от векторите (
) и (
), площта на паралелограма се дава от
където α е ъгълът между
и
Следват някои усъвършенствани свойства на паралелограма;
• Площта на успоредник е два пъти площта на триъгълник, създаден от някой от неговите диагонали.
• Площта на успоредника се разделя наполовина от всяка линия, минаваща през средната точка.
• Всяка недегенерирана афинна трансформация отвежда успоредник на друг успоредник
• Паралелограмът има ротационна симетрия от порядък 2
• Сумата от разстоянията от която и да е вътрешна точка на успоредник до страните е независима от местоположението на точката
Каква е разликата между паралелограма и четириъгълник?
• Четириъгълниците са полигони с четири страни (понякога наричани тетрагони), докато паралелограмът е специален тип четириъгълник.
• Четириъгълниците могат да имат своите страни в различни равнини (в 3d пространство), докато всички страни на успоредника се намират на една и съща равнина (равнинна / 2измерна).
• Вътрешните ъгли на четириъгълника могат да приемат всякаква стойност (включително рефлексните ъгли), така че да се добавят до 3600. Паралелограмите могат да имат само тъпи ъгли като максимален тип ъгъл.
• Четирите страни на четириъгълника могат да бъдат с различна дължина, докато противоположните страни на успоредника винаги са успоредни една на друга и еднакви по дължина.
• Всеки диагонал разделя паралелограма на два конгруентни триъгълника, докато триъгълниците, образувани от диагонала на общ четириъгълник, не са непременно конгруентни.
