Паралелограма срещу Ромб
Паралелограмът и ромбът са четириъгълници. Геометрията на тези фигури е била известна на човека от хилядолетия. Темата е изрично разгледана в книгата „Елементи“, написана от гръцкия математик Евклид.
Паралелограма
Паралелограмът може да бъде дефиниран като геометрична фигура с четири страни, с противоположни страни, успоредни една на друга. По-точно това е четириъгълник с две двойки успоредни страни. Тази паралелна природа дава много геометрични характеристики на паралелограмите.
Четириъгълникът е успоредник, ако са намерени следните геометрични характеристики.
• Две двойки противоположни страни са еднакви по дължина. (AB = DC, AD = BC)
• Две двойки противоположни ъгли са еднакви по размер. (
)
• Ако съседните ъгли са допълващи
• Чифт страни, които се противопоставят една на друга, са успоредни и еднакви по дължина. (AB = DC и AB∥DC)
• Диагоналите се разделят наполовина (AO = OC, BO = OD)
• Всеки диагонал разделя четириъгълника на два конгруентни триъгълника. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Освен това сумата от квадратите на страните е равна на сумата от квадратите на диагоналите. Това понякога се нарича закон на паралелограма и има широко приложение във физиката и инженерството. (AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA 2 = AC 2 + BD 2)
Всяка от горните характеристики може да се използва като свойства, след като се установи, че четириъгълникът е успоредник.
Площта на успоредника може да се изчисли чрез произведението на дължината на едната страна и височината до противоположната страна. Следователно площта на успоредника може да бъде посочена като
Площ на паралелограма = основа × височина = AB × h
Площта на успоредника е независима от формата на отделния успоредник. Това зависи само от дължината на основата и перпендикулярната височина.
Ако страните на успоредник могат да бъдат представени от два вектора, площта може да бъде получена от величината на векторното произведение (кръстосано произведение) на двата съседни вектора.
Ако страните AB и AD са представени съответно от векторите (
) и (
), площта на паралелограма се дава от
където α е ъгълът между
и
Следват някои усъвършенствани свойства на паралелограма;
• Площта на успоредник е два пъти площта на триъгълник, създаден от някой от неговите диагонали.
• Площта на успоредника се разделя наполовина от всяка линия, минаваща през средната точка.
• Всяка недегенерирана афинна трансформация отвежда успоредник на друг успоредник
• Паралелограмът има ротационна симетрия от порядък 2
• Сумата от разстоянията от която и да е вътрешна точка на успоредник до страните е независима от местоположението на точката
Ромб
Четириъгълник с еднакви дължини на всички страни е известен като ромб. Нарича се и като равностранен четириъгълник. Смята се, че има диамантена форма, подобна на тази в игралните карти.
Rhombus също е частен случай на паралелограма. Може да се разглежда като успоредник с еднакви четирите страни. И той има следните специални свойства, в допълнение към свойствата на успоредник.
• Диагоналите на ромба се разделят наполовина под прав ъгъл; диагоналите са перпендикулярни.
• Диагоналите разделят наполовина двата противоположни вътрешни ъгъла.
• Поне две от съседните страни са с еднаква дължина.
Площта на ромба може да се изчисли по същия метод като паралелограма.
Каква е разликата между паралелограма и ромб?
• Паралелограмът и ромбът са четириъгълници. Rhombus е частен случай на успоредниците.
• Площта на всеки може да се изчисли, като се използва формулата основа × височина.
• Разглеждане на диагоналите;
- Диагоналите на паралелограма се разделят наполовина и разделят паралелограма, за да образуват два конгруентни триъгълника.
- Диагоналите на ромба се разделят наполовина под прав ъгъл, а образуваните триъгълници са равностранни.
• Отчитайки вътрешните ъгли;
- Противоположните вътрешни ъгли на успоредника са еднакви по размер. Два съседни вътрешни ъгъла са допълващи.
- Вътрешните ъгли на ромба се разделят наполовина от диагоналите.
• Имайки предвид страните;
- В паралелограм сумата от квадратите на страните е равна на сумата от квадратите на диагонала (закон Паралелограм).
- Тъй като и четирите страни са равни в ромб, четири пъти квадратът на една страна е равен на сумата от квадратите на диагонала.
