Паралелограма срещу правоъгълник
Паралелограмът и правоъгълникът са четириъгълници. Геометрията на тези фигури е била известна на човека от хилядолетия. Темата е изрично разгледана в книгата „Елементи“, написана от гръцкия математик Евклид.
Паралелограма
Паралелограмът може да бъде дефиниран като геометрична фигура с четири страни, с противоположни страни, успоредни една на друга. По-точно това е четириъгълник с две двойки успоредни страни. Тази паралелна природа дава много геометрични характеристики на паралелограмите.
Четириъгълникът е успоредник, ако са намерени следните геометрични характеристики.
• Две двойки противоположни страни са еднакви по дължина. (AB = DC, AD = BC)
• Две двойки противоположни ъгли са еднакви по размер. (
)
• Ако съседните ъгли са допълващи
• Чифт страни, които се противопоставят една на друга, са успоредни и еднакви по дължина. (AB = DC и AB∥DC)
• Диагоналите се разделят наполовина (AO = OC, BO = OD)
• Всеки диагонал разделя четириъгълника на два конгруентни триъгълника. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Освен това сумата от квадратите на страните е равна на сумата от квадратите на диагоналите. Това понякога се нарича закон на паралелограма и има широко приложение във физиката и инженерството. (AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA 2 = AC 2 + BD 2)
Всяка от горните характеристики може да се използва като свойства, след като се установи, че четириъгълникът е успоредник.
Площта на успоредника може да се изчисли чрез произведението на дължината на едната страна и височината до противоположната страна. Следователно площта на успоредника може да бъде посочена като
Площ на паралелограма = основа × височина = AB × h
Площта на успоредника е независима от формата на отделния успоредник. Това зависи само от дължината на основата и перпендикулярната височина.
Ако страните на успоредник могат да бъдат представени от два вектора, площта може да бъде получена от величината на векторното произведение (кръстосано произведение) на двата съседни вектора.
Ако страните AB и AD са представени съответно от векторите (
) и (
), площта на паралелограма се дава от
където α е ъгълът между
и
Следват някои усъвършенствани свойства на паралелограма;
• Площта на успоредник е два пъти площта на триъгълник, създаден от някой от неговите диагонали.
• Площта на успоредника се разделя наполовина от всяка линия, минаваща през средната точка.
• Всяка недегенерирана афинна трансформация отвежда успоредник на друг успоредник
• Паралелограмът има ротационна симетрия от порядък 2
• Сумата от разстоянията от която и да е вътрешна точка на успоредник до страните е независима от местоположението на точката
Правоъгълник
Четириъгълник с четири прави ъгъла е известен като правоъгълник. Това е специален случай на паралелограма, където ъглите между произволни две съседни страни са прави ъгли.
В допълнение към всички свойства на успоредник, при разглеждане на геометрията на правоъгълника могат да бъдат разпознати допълнителни характеристики.
• Всеки ъгъл на върховете е прав ъгъл.
• Диагоналите са еднакви по дължина и се разделят на две. Следователно разделените участъци също са еднакви по дължина.
• Дължината на диагоналите може да се изчисли, като се използва теоремата на Питагор:
PQ 2 + PS 2 = SQ 2
• Формулата на площта намалява до произведението на дължина и ширина.
Площ на правоъгълника = дължина × ширина
• На правоъгълник се намират много симетрични свойства, като например;
- Правоъгълникът е цикличен, където всички върхове могат да бъдат поставени по периметъра на окръжност.
- Той е равноъгълен, където всички ъгли са равни.
- Той е изогонален, където всички ъгли лежат в една и съща орбита на симетрия.
- Има както симетрия на отражение, така и симетрия на въртене.
Каква е разликата между паралелограма и правоъгълник?
• Паралелограмът и правоъгълникът са четириъгълници. Правоъгълникът е частен случай на успоредниците.
• Площта на всеки може да се изчисли, като се използва формулата основа × височина.
• Разглеждане на диагоналите;
- Диагоналите на паралелограма се разделят наполовина и разделят паралелограма, за да образуват два конгруентни триъгълника.
- Диагоналите на правоъгълника са еднакви по дължина и се разделят пополовина; разполовените участъци са еднакви по дължина. Диагоналите разделят правоъгълника наполовина на два конгруентни правоъгълни триъгълника.
• Отчитайки вътрешните ъгли;
- Противоположните вътрешни ъгли на успоредника са еднакви по размер. Два съседни вътрешни ъгъла са допълващи
- И четирите вътрешни ъгъла на правоъгълника са прави ъгли.
• Имайки предвид страните;
- В паралелограм сумата от квадратите на страните е равна на сумата от квадратите на диагонала (закон Паралелограм)
- В правоъгълници сумата от квадратите на двете съседни страни е равна на квадрата на диагонала в краищата. (Правило на Питагор)
