Паралелограма срещу трапец
Паралелограм и трапец (или трапец) са два изпъкнали четириъгълника. Въпреки че това са четириъгълници, геометрията на трапеца се различава значително от паралелограмите.
Паралелограма
Паралелограмът може да бъде дефиниран като геометрична фигура с четири страни, с противоположни страни, успоредни една на друга. По-точно това е четириъгълник с две двойки успоредни страни. Тази паралелна природа дава много геометрични характеристики на паралелограмите.
Четириъгълникът е успоредник, ако са намерени следните геометрични характеристики.
• Две двойки противоположни страни са еднакви по дължина. (AB = DC, AD = BC)
• Две двойки противоположни ъгли са еднакви по размер. (
)
• Ако съседните ъгли са допълващи
• Чифт страни, които се противопоставят една на друга, са успоредни и еднакви по дължина. (AB = DC и AB∥DC)
• Диагоналите се разделят наполовина (AO = OC, BO = OD)
• Всеки диагонал разделя четириъгълника на два конгруентни триъгълника. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Освен това сумата от квадратите на страните е равна на сумата от квадратите на диагоналите. Това понякога се нарича закон на паралелограма и има широко приложение във физиката и инженерството. (AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA 2 = AC 2 + BD 2)
Всяка от горните характеристики може да се използва като свойства, след като се установи, че четириъгълникът е успоредник.
Площта на успоредника може да се изчисли чрез произведението на дължината на едната страна и височината до противоположната страна. Следователно площта на успоредника може да бъде посочена като
Площ на паралелограма = основа × височина = AB × h
Площта на успоредника е независима от формата на отделния успоредник. Това зависи само от дължината на основата и перпендикулярната височина.
Ако страните на успоредник могат да бъдат представени от два вектора, площта може да бъде получена от величината на векторното произведение (кръстосано произведение) на двата съседни вектора.
Ако страните AB и AD са представени съответно от векторите (
) и (
), площта на паралелограма се дава от
където α е ъгълът между
и
Следват някои усъвършенствани свойства на паралелограма;
• Площта на успоредник е два пъти площта на триъгълник, създаден от някой от неговите диагонали.
• Площта на успоредника се разделя наполовина от всяка линия, минаваща през средната точка.
• Всяка недегенерирана афинна трансформация отвежда успоредник на друг успоредник
• Паралелограмът има ротационна симетрия от порядък 2
• Сумата от разстоянията от която и да е вътрешна точка на успоредник до страните е независима от местоположението на точката
Трапец
Трапецът (или трапец на британски английски) е изпъкнал четириъгълник, където поне две страни са успоредни и неравномерни по дължина. Успоредните страни на трапеца са известни като основи, а другите две страни се наричат крака.
Следват основните характеристики на трапецовидните;
• Ако съседните ъгли не са на една и съща основа на трапеца, те са допълнителни ъгли. т.е. добавят до 180 ° (
)
• И двата диагонала на трапец се пресичат при едно и също съотношение (съотношението между участъка на диагоналите е равно).
• Ако a и b са основи, а c, d са крака, дължините на диагоналите се дават с
и
Площта на трапеца може да се изчисли, като се използва следната формула
Площ на трапеца =
Каква е разликата между паралелограма и трапец (трапец)?
• Както паралелограмът, така и трапецът са изпъкнали четириъгълници.
• При паралелограм и двете двойки на противоположните страни са успоредни, докато при трапец само двойка е успоредна.
• Диагоналите на паралелограма се разделят наполовина (съотношение 1: 1), докато диагоналите на трапеца се пресичат с постоянно съотношение между участъците.
• Площта на успоредника зависи от височината и основата, докато площта на трапеца зависи от височината и средния сегмент.
• Двата триъгълника, образувани от диагонал в паралелограм, винаги са конгруентни, докато триъгълниците на трапеца могат да бъдат конгруентни или не.
