Разлика между диференциация и производна

2024 Автор: Mildred Bawerman | [email protected]. Последно модифициран: 2023-12-16 08:37

Диференциация срещу производна

В диференциалното смятане производната и диференциацията са тясно свързани, но много различни и се използват за представяне на две важни математически понятия, свързани с функциите.

Какво е производно?

Производното на функция измерва скоростта, с която стойността на функцията се променя при промяна на нейния вход. При функциите с много променливи промяната в стойността на функцията зависи от посоката на промяна на стойностите на независимите променливи. Следователно в такива случаи се избира конкретна посока и функцията се диференцира в тази конкретна посока. Това производно се нарича дирекционно производно. Частичните производни са специален вид насочени производни.

Производното на векторнозначна функция f може да бъде определено като граница,

където и да съществува крайно. Както споменахме по-горе, това ни дава скоростта на нарастване на функцията f по посока на вектора u. В случай на еднозначна функция, това се свежда до добре познатата дефиниция на производната,

Например,

е навсякъде диференцируем и производната е равна на границата

която е равна на

. Производните на функции като

съществуващи навсякъде. Те са съответно равни на функциите

Това е известно като първото производно. Обикновено първата производна на функция f се означава с f ⁽¹⁾. Сега, използвайки тази нотация, е възможно да се дефинират производни от по-висок ред.

е дериват с посока от втори ред и означаващ n ^-то производно с f ⁽ⁿ⁾ за всяко n

дефинира n ^-то производно.

Какво е диференциация?

Диференциацията е процес на намиране на производната на диференцируема функция. D-операторът, означен с D, представлява диференциация в някои контексти. Ако x е независимата променлива, тогава D ≡ ^d / _dx. D-операторът е линеен оператор, т.е. за всякакви две диференцируеми функции f и g и константа c, са налице следните свойства.

I. D (f + g) = D (f) + D (g)

II. D (cf) = cD (f)

Използвайки D-оператора, другите правила, свързани с диференциацията, могат да бъдат изразени, както следва. D (fg) = D (f) g + f D (g), D (^f / _g) = ^{[D (f) g - f D (g)]} / _g ² и D (мъгла) = (D (f) og) D (g).

Например, когато F (x) = x ² sin x се диференцира по отношение на x, като се използват дадените правила, отговорът ще бъде 2 x sin x + x ² cos x.

Каква е разликата между диференциацията и производната?

• Производно се отнася до скорост на промяна на функция

• Диференциацията е процес на намиране на производната на функция.