Диференциация срещу производна
В диференциалното смятане производната и диференциацията са тясно свързани, но много различни и се използват за представяне на две важни математически понятия, свързани с функциите.
Какво е производно?
Производното на функция измерва скоростта, с която стойността на функцията се променя при промяна на нейния вход. При функциите с много променливи промяната в стойността на функцията зависи от посоката на промяна на стойностите на независимите променливи. Следователно в такива случаи се избира конкретна посока и функцията се диференцира в тази конкретна посока. Това производно се нарича дирекционно производно. Частичните производни са специален вид насочени производни.
Производното на векторнозначна функция f може да бъде определено като граница,
където и да съществува крайно. Както споменахме по-горе, това ни дава скоростта на нарастване на функцията f по посока на вектора u. В случай на еднозначна функция, това се свежда до добре познатата дефиниция на производната,
Например,
е навсякъде диференцируем и производната е равна на границата
която е равна на
. Производните на функции като
съществуващи навсякъде. Те са съответно равни на функциите
Това е известно като първото производно. Обикновено първата производна на функция f се означава с f (1). Сега, използвайки тази нотация, е възможно да се дефинират производни от по-висок ред.
е дериват с посока от втори ред и означаващ n -то производно с f (n) за всяко n
дефинира n -то производно.
Какво е диференциация?
Диференциацията е процес на намиране на производната на диференцируема функция. D-операторът, означен с D, представлява диференциация в някои контексти. Ако x е независимата променлива, тогава D ≡ d / dx. D-операторът е линеен оператор, т.е. за всякакви две диференцируеми функции f и g и константа c, са налице следните свойства.
I. D (f + g) = D (f) + D (g)
II. D (cf) = cD (f)
Използвайки D-оператора, другите правила, свързани с диференциацията, могат да бъдат изразени, както следва. D (fg) = D (f) g + f D (g), D (f / g) = [D (f) g - f D (g)] / g 2 и D (мъгла) = (D (f) og) D (g).
Например, когато F (x) = x 2 sin x се диференцира по отношение на x, като се използват дадените правила, отговорът ще бъде 2 x sin x + x 2 cos x.
Каква е разликата между диференциацията и производната?
• Производно се отнася до скорост на промяна на функция
• Диференциацията е процес на намиране на производната на функция.
