Разлика между производна и диференциална

2024 Автор: Mildred Bawerman | [email protected]. Последно модифициран: 2023-12-16 08:37

Производно срещу диференциал

В диференциалното смятане производната и диференциалната функция са тясно свързани, но имат много различни значения и се използват за представяне на два важни математически обекта, свързани с диференцируеми функции.

Какво е производно?

Производното на функция измерва скоростта, с която стойността на функцията се променя при промяна на нейния вход. При функциите с много променливи промяната в стойността на функцията зависи от посоката на промяна на стойностите на независимите променливи. Следователно в такива случаи се избира конкретна посока и функцията се диференцира в тази конкретна посока. Това производно се нарича дирекционно производно. Частичните производни са специален вид насочени производни.

Производното на векторнозначна функция f може да бъде определено като граница,

където и да съществува крайно. Както споменахме по-горе, това ни дава скоростта на нарастване на функцията f по посока на вектора u. В случай на еднозначна функция, това се свежда до добре познатата дефиниция на производната,

Например,

е навсякъде диференцируем и производната е равна на границата

която е равна на

. Производните на функции като

съществуващи навсякъде. Те са съответно равни на функциите

Това е известно като първото производно. Обикновено първата производна на функция f се означава с f ⁽¹⁾. Сега, използвайки тази нотация, е възможно да се дефинират производни от по-висок ред.

е дериват с посока от втори ред и означаващ n ^-то производно с f ⁽ⁿ⁾ за всяко n

дефинира n ^-то производно.

Какво е диференциал?

Диференциалът на функция представлява промяната във функцията по отношение на промените в независимата променлива или променливи. В обичайната нотация, за дадена функция f на единична променлива x, общият диференциал от порядък 1 df се дава от

,. Това означава, че за безкрайно малка промяна в x (т.е. dx), ще има промяна af ⁽¹⁾ (x) dx във f.

Използвайки ограничения, може да се получи тази дефиниция, както следва. Да приемем, че ∆ x е промяната на x в произволна точка x и ∆ f е съответната промяна във функцията f. Може да се покаже, че ∆ f = f ⁽¹⁾ (x) ∆ x + ϵ, където ϵ е грешката. Сега границата ∆ x → 0 ^{∆ f} / _{∆ x} = f ⁽¹⁾ (x) (използвайки предварително дефинираната дефиниция на производна) и по този начин, thus x → 0 ^ϵ / _{∆ x} = 0. Следователно е възможно да заключи, че ∆ x → 0 ϵ = 0. Сега, обозначавайки ∆ x → 0 ∆ f като df и ∆ x → 0 ∆ x като dx, дефиницията на диференциала е строго получена.

Например диференциалът на функцията

е

В случай на функции на две или повече променливи, общият диференциал на дадена функция се определя като сума от диференциали в посоките на всяка от независимите променливи. Математически може да се посочи като

Каква е разликата между производна и диференциална?

• Производно се отнася до скорост на промяна на функция, докато диференциалът се отнася до действителната промяна на функцията, когато независимата променлива е подложена на промяна.

• Производната е дадена с

но диференциалът е даден с