Производно срещу диференциал
В диференциалното смятане производната и диференциалната функция са тясно свързани, но имат много различни значения и се използват за представяне на два важни математически обекта, свързани с диференцируеми функции.
Какво е производно?
Производното на функция измерва скоростта, с която стойността на функцията се променя при промяна на нейния вход. При функциите с много променливи промяната в стойността на функцията зависи от посоката на промяна на стойностите на независимите променливи. Следователно в такива случаи се избира конкретна посока и функцията се диференцира в тази конкретна посока. Това производно се нарича дирекционно производно. Частичните производни са специален вид насочени производни.
Производното на векторнозначна функция f може да бъде определено като граница,
където и да съществува крайно. Както споменахме по-горе, това ни дава скоростта на нарастване на функцията f по посока на вектора u. В случай на еднозначна функция, това се свежда до добре познатата дефиниция на производната,
Например,
е навсякъде диференцируем и производната е равна на границата
която е равна на
. Производните на функции като
съществуващи навсякъде. Те са съответно равни на функциите
Това е известно като първото производно. Обикновено първата производна на функция f се означава с f (1). Сега, използвайки тази нотация, е възможно да се дефинират производни от по-висок ред.
е дериват с посока от втори ред и означаващ n -то производно с f (n) за всяко n
дефинира n -то производно.
Какво е диференциал?
Диференциалът на функция представлява промяната във функцията по отношение на промените в независимата променлива или променливи. В обичайната нотация, за дадена функция f на единична променлива x, общият диференциал от порядък 1 df се дава от
,. Това означава, че за безкрайно малка промяна в x (т.е. dx), ще има промяна af (1) (x) dx във f.
Използвайки ограничения, може да се получи тази дефиниция, както следва. Да приемем, че ∆ x е промяната на x в произволна точка x и ∆ f е съответната промяна във функцията f. Може да се покаже, че ∆ f = f (1) (x) ∆ x + ϵ, където ϵ е грешката. Сега границата ∆ x → 0 ∆ f / ∆ x = f (1) (x) (използвайки предварително дефинираната дефиниция на производна) и по този начин, thus x → 0 ϵ / ∆ x = 0. Следователно е възможно да заключи, че ∆ x → 0 ϵ = 0. Сега, обозначавайки ∆ x → 0 ∆ f като df и ∆ x → 0 ∆ x като dx, дефиницията на диференциала е строго получена.
Например диференциалът на функцията
е
В случай на функции на две или повече променливи, общият диференциал на дадена функция се определя като сума от диференциали в посоките на всяка от независимите променливи. Математически може да се посочи като
Каква е разликата между производна и диференциална?
• Производно се отнася до скорост на промяна на функция, докато диференциалът се отнася до действителната промяна на функцията, когато независимата променлива е подложена на промяна.
• Производната е дадена с
но диференциалът е даден с
