Интеграция срещу диференциация
Интеграцията и диференциацията са две основни понятия в смятането, което изучава промяната. Калкулацията има голямо разнообразие от приложения в много области като наука, икономика или финанси, инженерство и др.
Диференциация
Диференциацията е алгебричната процедура за изчисляване на производни. Производно на функция е наклонът или градиентът на кривата (графика) във всяка дадена точка. Градиент на крива във всяка дадена точка е градиентът на допирателната, изтеглена към тази крива в дадената точка. За нелинейни криви градиентът на кривата може да варира в различни точки по оста. Следователно е трудно да се изчисли градиентът или наклонът във всяка точка. Процесът на диференциация е полезен при изчисляване на градиента на кривата във всяка точка.
Друго определение за производно е „промяната на свойство по отношение на единична промяна на друго свойство.“
Нека f (x) е функция на независима променлива x. Ако в независимата променлива x е причинена малка промяна (∆x), съответната промяна ∆f (x) е причинена във функцията f (x); тогава съотношението ∆f (x) / ∆x е мярка за скоростта на промяна на f (x) по отношение на x. Граничната стойност на това съотношение, тъй като ∆x клони към нула, lim ∆x → 0 (f (x) / ∆x) се нарича първото производно на функцията f (x) по отношение на x; с други думи, моментната промяна на f (x) в дадена точка x.
Интеграция
Интеграцията е процес на изчисляване на определен интеграл или неопределен интеграл. За реална функция f (x) и затворен интервал [a, b] на реалната линия, определеният интеграл, a ∫ b f (x), се определя като площта между графиката на функцията, хоризонталната ос и двете вертикални линии в крайните точки на интервал. Когато не е даден определен интервал, той е известен като неопределен интеграл. Определен интеграл може да бъде изчислен с помощта на антипроизводни.
Каква е разликата между интеграция и диференциация?
Разликата между интеграция и диференциация е нещо като разликата между „квадратиране“и „вземане на квадратния корен“. Ако на квадрат положително число и след това вземем квадратния корен от резултата, положителната стойност на квадратния корен ще бъде числото, което сте на квадрат. По същия начин, ако приложите интеграцията върху резултата, който сте получили чрез диференциране на непрекъсната функция f (x), тя ще се върне към първоначалната функция и обратно.
Например нека F (х) е интеграл на функция е (х) = х, следователно, F (х) = ∫f (х) DX = (х 2 /2) + C, където С е произволно постоянна. Когато диференцираме F (x) по отношение на x, получаваме F '(x) = dF (x) / dx = (2x / 2) + 0 = x, следователно производната на F (x) е равна на f (х).
Обобщение
- Диференциацията изчислява наклона на крива, докато интеграцията изчислява площта под кривата.
- Интеграцията е обратен процес на диференциация и обратно.
