Разлика между интеграция и сумиране

2024 Автор: Mildred Bawerman | [email protected]. Последно модифициран: 2023-12-16 08:37

Интеграция срещу сумиране

В математиката над гимназията интеграцията и сумирането често се срещат в математическите операции. Те привидно се използват като различни инструменти и в различни ситуации, но споделят много близки отношения.

Повече за Сумирането

Сумирането е операция за добавяне на поредица от числа и операцията често се обозначава с гръцката буква с главна буква сигма Използва се за съкращаване на сумирането и равно на сумата / общата сума на последователността. Те често се използват за представяне на сериите, които по същество са безкрайни последователности, обобщени. Те могат да се използват и за обозначаване на сумата от вектори, матрици или полиноми.

Сумирането обикновено се прави за диапазон от стойности, които могат да бъдат представени от общ термин, като серия, която има общ термин. Началната и крайната точка на сумирането са известни съответно като долна граница и горна граница на сумирането.

Например, сумата на последователност ₁, а ₂, на ₃, а ₄, …, а _п е ₁ + а ₂ + на ₃ + … + а _п които лесно могат да бъдат представени при използване на сумиране нотация като Σ ^п _{i = 1} a _i; i се нарича индекс на сумиране.

Много варианти се използват за сумиране въз основа на приложението. В някои случаи горната и долната граница могат да бъдат дадени като интервал или диапазон, като ∑ _1≤i≤100 a _i и ∑ _{i∈ [1,100]} a _i. Или може да се даде като набор от числа като ∑ _i∈P a _i, където P е дефиниран набор.

В някои случаи могат да се използват два или повече сигма знака, но те могат да бъдат обобщени, както следва; ∑ _j ∑ _k a _jk = ∑ _{j, k} a _jk.

Също така сумирането следва много алгебрични правила. Тъй като вградената операция е добавяне, много от общите правила на алгебра могат да бъдат приложени към самите суми и за отделните термини, изобразени от сумирането.

Повече за интеграцията

Интеграцията се определя като обратен процес на диференциация. Но в геометричния си изглед може да се разглежда и като площ, затворена от кривата на функцията и оста. Следователно изчисляването на площта дава стойността на определен интеграл, както е показано на диаграмата.

Източник на изображението:

Стойността на определения интеграл всъщност е сумата от малките ивици вътре в кривата и оста. Площта на всяка лента е височината × ширината в точката на разглежданата ос. Ширината е стойност, която можем да изберем, да речем ∆x. А височината е приблизително стойността на функцията в разглежданата точка, да речем f (x _i). От диаграмата е видно, че колкото по-малки са лентите, толкова по-добре се вписват лентите вътре в ограничената зона, а оттам и по-добро сближаване на стойността.

И така, като цяло определеният интеграл I, между точките a и b (т.е. в интервала [a, b], където a1) ∆x + f (x ₂) ∆x + ⋯ + f (x _n) ∆x, където n е броят на лентите (n = (ba) / ∆x). Това сумиране на площта може лесно да бъде представено чрез обозначението на сумирането като I as ∑ ⁿ _{i = 1} f (x _i) ∆x. Тъй като приближението е по-добро, когато ∆x е по-малко, можем да изчислим стойността, когато ∆x → 0. Следователно е разумно да се каже I = lim _{∆x → 0} ∑ ⁿ _{i = 1} f (x _i) ∆x.

Като обобщение от горната концепция можем да изберем ∆x въз основа на разглеждания интервал, индексиран с i (избиране на ширината на зоната въз основа на позицията). Тогава получаваме

I = lim _{∆x → 0} ∑ ⁿ _{i = 1} f (x _i) ∆x _i = _a ∫ ^b f (x) dx

Това е известно като интеграл на Рейман на функцията f (x) в интервала [a, b]. В този случай a и b са известни като горна граница и долна граница на интеграла. Интегралът на Рейман е основна форма на всички методи за интеграция.

По същество интегрирането е сумиране на площта, когато ширината на правоъгълника е безкрайно малка.

Каква е разликата между интеграция и сумиране?

• Сумирането е сумиране на поредица от числа. Обикновено сумирането се дава в тази форма ∑ ⁿ _{i = 1} a _i, когато термините в последователността имат модел и могат да бъдат изразени с помощта на общ термин.

• Интеграцията е основно площта, ограничена от кривата на функцията, оста и горната и долната граница. Тази площ може да бъде дадена като сбор от много по-малки площи, включени в ограничената зона.

• Сумирането включва дискретни стойности с горната и долната граница, докато интегрирането включва непрекъснати стойности.

• Интеграцията може да се тълкува като специална форма на сумиране.

• При числените изчислителни методи интегрирането винаги се извършва като сумиране.