Взаимно ексклузивни срещу независими събития
Хората често бъркат понятието за взаимно изключващи се събития с независими събития. Всъщност това са две различни неща.
Нека A и B са всякакви две събития, свързани със случаен експеримент E. P (A) се нарича „Вероятност за A“. По подобен начин можем да определим вероятността за B като P (B), вероятността за A или B като P (A∪B) и вероятността за A и B като P (A∩B). Тогава P (A∪B) = P (A) + P (B) -P (A∩B).
Обаче две събития, за които се казва, че се взаимно се изключват, ако появата на едното събитие не засяга другото. С други думи, те не могат да се появят едновременно. Следователно, ако две събития A и B се изключват взаимно, тогава A∩B = ∅ и следователно това означава P (A∪B) = P (A) + P (B).
Нека A и B са две събития в извадковото пространство S. Условната вероятност за A, като се има предвид, че B е настъпило, се означава с P (A | B) и се определя като; P (A | B) = P (A∩B) / P (B), при условие, че P (B)> 0. (в противен случай не е дефинирано.)
Казва се, че събитие A е независимо от събитие B, ако вероятността да настъпи A не се влияе от това дали B е настъпило или не. С други думи, резултатът от събитието B няма ефект върху резултата от събитието A. Следователно, P (A | B) = P (A). По същия начин B е независим от A, ако P (B) = P (B | A). Следователно можем да заключим, че ако A и B са независими събития, тогава P (A∩B) = P (A). P (B)
Да приемем, че номериран куб е навит и честната монета е обърната. Нека A е събитието, при което получаването на глава, а B е събитието, което търкаля четно число. Тогава можем да заключим, че събитията А и В са независими, тъй като този резултат от единия не влияе върху резултата от другия. Следователно, P (A∩B) = P (A). P (B) = (1/2) (1/2) = 1/4. Тъй като P (A∩B) ≠ 0, A и B не могат да се взаимно изключват.
Да предположим, че урна съдържа 7 бели топчета и 8 черни топчета. Определете събитие А като рисуване на бял мрамор, а събитие Б като рисуване на черен мрамор. Ако приемем, че всеки мрамор ще бъде заменен след отбелязване на цвета му, тогава P (A) и P (B) винаги ще бъдат еднакви, независимо колко пъти черпим от урната. Замяната на топчетата означава, че вероятностите не се променят от равенство към равенство, независимо какъв цвят сме избрали при последното теглене. Следователно събитието А и В са независими.
Ако обаче топчетата са изтеглени без замяна, тогава всичко се променя. При това предположение събитията A и B не са независими. Рисуването на бял мрамор за първи път променя вероятностите за рисуване на черен мрамор при второто изтегляне и така нататък. С други думи, всяко теглене има ефект върху следващото теглене и така отделните тиражи не са независими.
Разлика между взаимно изключителни и независими събития
- Взаимната изключителност на събитията означава, че няма припокриване между множествата A и B. Независимостта на събитията означава, че случването на A не засяга случването на B.
- Ако две събития A и B се изключват взаимно, тогава P (A∩B) = 0.
- Ако две събития A и B са независими, тогава P (A∩B) = P (A). P (B)
