Зависими от независими събития
В ежедневния си живот попадаме на събития с несигурност. Например шанс за печалба от лотария, която купувате, или шанс да получите работата, която сте кандидатствали. Фундаменталната теория на вероятността се използва за математическо определяне на шанса да се случи нещо. Вероятността винаги е свързана със случайни експерименти. Казва се, че експеримент с няколко възможни резултата е случаен експеримент, ако резултатът от дадено отделно проучване не може да бъде предвиден предварително. Зависими и независими събития са термини, използвани в теорията на вероятностите.
Казва се, че събитие B е независимо от събитие A, ако вероятността да се случи B не се влияе от това дали A е настъпило или не. Просто две събития са независими, ако резултатът от едното не влияе върху вероятността за настъпване на другото събитие. С други думи, B е независим от A, ако P (B) = P (B | A). По същия начин A е независим от B, ако P (A) = P (A | B). Тук P (A | B) означава условната вероятност A, ако приемем, че B се е случило. Ако разгледаме хвърлянето на две зарове, число, което се показва в едната матрица, няма ефект върху това, което е излязло в другата матрица.
За всякакви две събития A и B в пробно пространство S; условната вероятност за A, като се има предвид, че B е настъпила, е P (A | B) = P (A∩B) / P (B). Така че, ако събитието A е независимо от събитие B, тогава P (A) = P (A | B) предполага, че P (A∩B) = P (A) x P (B). По подобен начин, ако P (B) = P (B | A), тогава важи P (A∩B) = P (A) x P (B). Следователно можем да заключим, че двете събития A и B са независими, ако и само ако условието P (A∩B) = P (A) x P (B) е изпълнено.
Нека приемем, че хвърляме матрица и хвърляме монета едновременно. Тогава множеството от всички възможни резултати или пробното пространство е S = {(1, H), (2, H), (3, H), (4, H), (5, H), (6, H), (1, T), (2, T), (3, T), (4, T), (5, T), (6, T)}. Нека събитие A е събитие за получаване на глави, тогава вероятността за събитие A, P (A) е 6/12 или 1/2 и нека B е събитие за получаване на кратно на три на матрицата. Тогава P (B) = 4/12 = 1/3. Всяко от тези две събития няма ефект върху възникването на другото събитие. Следователно тези две събития са независими. Тъй като множеството (A∩B) = {(3, H), (6, H)}, вероятността събитие да получи глави и кратно на три на матрица, т.е. P (A∩B), е 2/12 или 1/6. Умножението P (A) x P (B) също е равно на 1/6. Тъй като двете събития A и B изпълняват условието, можем да кажем, че A и B са независими събития.
Ако резултатът от дадено събитие е повлиян от резултата от другото събитие, тогава се казва, че събитието е зависимо.
Да приемем, че имаме чанта, която съдържа 3 червени топки, 2 бели топки и 2 зелени топки. Вероятността да нарисувате бяла топка на случаен принцип е 2/7. Каква е вероятността да нарисувате зелена топка? 2/7 ли е?
Ако бяхме изтеглили втората топка след замяна на първата топка, тази вероятност ще бъде 2/7. Ако обаче не заменим първата топка, която сме извадили, тогава имаме само шест топки в чантата, така че вероятността да изтеглите зелена топка сега е 2/6 или 1/3. Следователно, второто събитие е зависимо, тъй като първото събитие има ефект върху второто събитие.
Каква е разликата между зависимо събитие и независимо събитие?
