Случайни променливи спрямо разпределение на вероятностите
Статистическите експерименти са произволни експерименти, които могат да се повтарят неограничено с известен набор от резултати. Както случайни променливи, така и вероятностни разпределения са свързани с такива експерименти. За всяка случайна променлива има свързано разпределение на вероятностите, дефинирано от функция, наречена кумулативна функция на разпределение.
Какво е случайна променлива?
Случайната променлива е функция, която приписва числови стойности на резултатите от статистически експеримент. С други думи, това е функция, дефинирана от пробното пространство на статистически експеримент в множеството реални числа.
Например, помислете за случаен експеримент с обръщане на монета два пъти. Възможните резултати са HH, HT, TH и TT (H - глави, T - приказки). Нека променливата X е броят на главите, наблюдавани в експеримента. Тогава X може да приеме стойностите 0, 1 или 2 и е случайна променлива. Тук случайната променлива X ще преобразува множеството S = {HH, HT, TH, TT} (пробното пространство) в множеството {0, 1, 2} по такъв начин, че HH се преобразува в 2, HT и TH се преобразуват в 1 и TT се преобразува в 0. В нотация на функцията това може да се запише като X: S → R, където X (HH) = 2, X (HT) = 1, X (TH) = 1 и X (TT) = 0.
Има два типа случайни променливи: дискретни и непрекъснати, съответно броят на възможните стойности, които една случайна променлива може да приеме, е най-много преброени или не. В предишния пример случайната променлива X е дискретна случайна променлива, тъй като {0, 1, 2} е краен набор. Сега помислете за статистическия експеримент за намиране на тежестите на учениците в клас. Нека Y е случайната променлива, определена като теглото на студент. Y може да приеме всяка реална стойност в рамките на определен интервал. Следователно Y е непрекъсната случайна променлива.
Какво е разпределение на вероятностите?
Разпределението на вероятностите е функция, която описва вероятността случайна променлива да приема определени стойности.
Функция, наречена кумулативна функция на разпределение (F), може да бъде дефинирана от множеството реални числа до множеството реални числа като F (x) = P (X ≤ x) (вероятността X да е по-малка или равна на x) за всеки възможен резултат x. Сега кумулативната функция на разпределение на X в първия пример може да бъде записана като F (a) = 0, ако a <0; F (a) = 0,25, ако 0≤a <1; F (a) = 0,75, ако 1≤a <2 и F (a) = 1, ако a≥2.
В случай на дискретни случайни променливи, функция може да бъде дефинирана от множеството възможни резултати до множеството реални числа по такъв начин, че ƒ (x) = P (X = x) (вероятността X да е равна на x) за всеки възможен резултат x. Тази конкретна функция ƒ се нарича функция на вероятностната маса на случайната променлива X. Сега функцията на вероятностната маса на X в първия конкретен пример може да бъде записана като ƒ (0) = 0,25, ƒ (1) = 0,5, ƒ (2) = 0,25 и ƒ (x) = 0 в противен случай. По този начин, функцията на вероятностната маса заедно с кумулативната функция на разпределение ще опишат разпределението на вероятността на X в първия пример.
В случай на непрекъснати случайни променливи, функция, наречена функция на плътността на вероятността (ƒ), може да бъде дефинирана като ƒ (x) = dF (x) / dx за всеки x, където F е кумулативната функция на разпределение на непрекъснатата случайна променлива. Лесно е да се види, че тази функция удовлетворява ∫ƒ (x) dx = 1. Функцията за плътност на вероятността заедно с функцията на кумулативното разпределение описва вероятностното разпределение на непрекъсната случайна променлива. Например нормалното разпределение (което е непрекъснато разпределение на вероятностите) се описва с помощта на функцията на плътността на вероятността ƒ (x) = 1 / √ (2πσ 2) e ^ ([(x-µ)] 2 / (2σ 2)).
Каква е разликата между случайни променливи и вероятностно разпределение?
• Случайната променлива е функция, която свързва стойности на извадковото пространство с реално число.
• Разпределението на вероятностите е функция, която асоциира стойности, които произволна променлива може да приеме, към съответната вероятност за поява.
