Функция на разпределение на вероятностите срещу функция на плътността на вероятността
Вероятността е вероятността дадено събитие да се случи. Тази идея е много често срещана и се използва често в ежедневния живот, когато оценяваме своите възможности, транзакции и много други неща. Разширяването на тази проста концепция към по-голям набор от събития е малко по-голямо предизвикателство. Например, не можем лесно да разберем шансовете за печалба от лотарията, но е удобно, по-скоро интуитивно, да кажем, че има вероятност един от шест да получим номер шест в хвърлени зарове.
Когато броят на събитията, които могат да се случат, става по-голям или броят на индивидуалните възможности е голям, тази доста проста идея за вероятността се проваля. Следователно трябва да се даде солидна математическа дефиниция, преди да се подходи към проблемите с по-висока сложност.
Когато броят на събитията, които могат да се случат в една ситуация, е голям, е невъзможно да се разгледа всяко събитие поотделно, както в примера с хвърлените зарове. Следователно целият набор от събития се обобщава чрез въвеждане на концепцията за случайната променлива. Това е променлива, която може да приеме стойностите на различни събития в конкретната ситуация (или пространството на пробата). Той дава математически смисъл на прости събития в ситуацията и математически начин за справяне със събитието. По-точно, случайна променлива е функция на реална стойност върху елементите на извадковото пространство. Случайните променливи могат да бъдат дискретни или непрекъснати. Те обикновено се означават с главни букви на английската азбука.
Функцията за разпределение на вероятностите (или просто разпределението на вероятностите) е функция, която присвоява стойностите на вероятността за всяко събитие; т.е. осигурява връзка с вероятностите за стойностите, които случайната променлива може да приеме. Функцията за разпределение на вероятностите е дефинирана за дискретни случайни променливи.
Функцията за вероятностна плътност е еквивалент на функцията за разпределение на вероятностите за непрекъснатите случайни променливи, дава вероятността определена случайна променлива да приеме определена стойност.
Ако X е дискретна случайна променлива, функцията, дадена като f (x) = P (X = x) за всеки x в обхвата на X, се нарича функция за разпределение на вероятностите. Функцията може да служи като функция за разпределение на вероятностите тогава и само ако функцията отговаря на следните условия.
1. f (x) ≥ 0
2. ∑ f (x) = 1
Функция f (x), която е дефинирана върху множеството реални числа, се нарича функция на плътността на вероятността на непрекъснатата случайна променлива X, ако и само ако,
P (a ≤ x ≤ b) = a ∫ b f (x) dx за всякакви реални константи a и b.
Функцията на плътността на вероятността също трябва да отговаря на следните условия.
1. f (x) ≥ 0 за всички x: -∞ <x <+ ∞
2. -∞ ∫ + ∞ f (x) dx = 1
Както функцията за разпределение на вероятностите, така и функцията за плътност на вероятността се използват за представяне на разпределението на вероятностите в пространството на пробата. Обикновено те се наричат вероятностни разпределения.
За статистическо моделиране се извеждат стандартни функции на плътност на вероятността и функции на разпределение на вероятностите. Нормалното разпределение и стандартното нормално разпределение са примери за непрекъснати разпределения на вероятности. Биномното разпределение и разпределението на Поасон са примери за дискретни разпределения на вероятностите.
Каква е разликата между вероятностното разпределение и вероятността плътност функция?
• Функцията за разпределение на вероятността и функцията за плътност на вероятността са функции, дефинирани върху пространството на извадката, за да се присвои съответната стойност на вероятността за всеки елемент.
• Функциите за разпределение на вероятностите са дефинирани за дискретните случайни променливи, докато функциите за плътност на вероятностите са определени за непрекъснатите случайни променливи.
• Разпределението на вероятностните стойности (т.е. разпределенията на вероятностите) са най-добре представени чрез функцията за плътност на вероятността и функцията за разпределение на вероятностите.
• Функцията за разпределение на вероятностите може да бъде представена като стойности в таблица, но това не е възможно за функцията за плътност на вероятностите, тъй като променливата е непрекъсната.
• Когато се нанася, функцията за разпределение на вероятностите дава график, докато функцията за плътност на вероятността дава крива.
• Височината / дължината на лентите на функцията за разпределение на вероятността трябва да се добавят към 1, докато площта под кривата на функцията за вероятностна плътност трябва да се добави към 1.
• И в двата случая всички стойности на функцията трябва да са неотрицателни.
