Power Series срещу Taylor Series
В математиката реалната последователност е подреден списък с реални числа. Формално това е функция от множеството естествени числа до множеството реални числа. Ако a n е n -ият член на последователност, ние обозначаваме последователността с или с 1, a 2,…, a n, …. Например, помислете за последователността 1, ½, ⅓,…, 1 / n, … Може да се обозначи като {1 / n}.
Възможно е да се определи серия, като се използват последователности. Поредица е сумата от условията на поредица. Следователно за всяка последователност има свързана последователност и обратно. Ако {a n} е разглежданата последователност, тогава поредицата, образувана от тази последователност, може да бъде представена като:
По този начин, в горния пример, свързаното серия е 1+ 1 / 2 + 1 / 3 + … + 1 / п + ….
Както подсказват имената, степенната серия е специален тип серия и тя се използва широко при числения анализ и свързаното с нея математическо моделиране. Серията Тейлър е специална серия мощности, която осигурява алтернативен и лесен за манипулиране начин за представяне на добре познати функции.
Какво е Power series?
Степенната серия е поредица от формата
което е конвергентно (възможно) за някакъв интервал, центриран в c. Коефициентите a n могат да бъдат реални или комплексни числа и са независими от x; т.е. фиктивната променлива.
Например чрез задаване на n = 1 за всяко n и c = 0 се получава степенната серия 1 + x + x 2 + ….. + x n + …. Лесно е да се забележи, че когато x ε (-1,1), тази степенна серия се сближава до 1 / (1-x).
Една степенна степен се сближава, когато x = c. Останалите стойности на x, за които степенната серия се сближава, винаги ще имат формата на отворен интервал, центриран в c. Тоест ще има стойност 0≤ R ≤ ∞ такава, че за всеки x, удовлетворяващ | xc | ≤ R, степенният ред е сходящ и за всеки x, удовлетворяващ | xc |> R, степенният ред е дивергентен. Тази стойност R се нарича радиус на сближаване на степенния ред (R може да приеме всяка реална стойност или положителна безкрайност).
Поредиците от степени могат да се добавят, изваждат, умножават и разделят, като се използват следните правила. Помислете за двете степенни серии:
Тогава,
т.е. подобни термини се добавят или изваждат заедно. Също така е възможно да се умножат и разделят двете степени на степента, използвайки идентичността,
Какво е серията Тейлър?
Поредицата на Тейлър е дефинирана за функция f (x), която е безкрайно диференцируема на интервал. Да приемем, че f (x) е диференцируем на интервал, центриран в c. Тогава степенната серия, която е дадена от
се нарича разширяване на серията на Тейлър на функцията f (x) около c. (Тук f (n) (c) означава n -то производно при x = c). В Numerical Analysis, краен брой членове в това безкрайно разширение се използват при изчисляване на стойности в точки, където серията е конвергентна към първоначалната функция.
За функция f (x) се казва, че е аналитична в интервала (a, b), ако за всеки x ε (a, b) поредицата на Тейлър от f (x) се сближава с функцията f (x). Например 1 / (1-x) е аналитичен на (-1,1), тъй като неговото разширение на Тейлър 1 + x + x 2 + ….. + x n + … се сближава с функцията на този интервал и e x е аналитична навсякъде, тъй като поредицата на Тейлър от e x се сближава с e x за всяко реално число x.
Каква е разликата между серията Power и серията Taylor?
1. Серията Тейлър е специален клас степенни серии, дефинирани само за функции, които са безкрайно диференцируеми на някакъв отворен интервал.
2. Сериите на Тейлър приемат специалната форма
като има предвид, че степенна серия може да бъде всяка поредица от формата
