Разлика между Power Series и Taylor Series

2024 Автор: Mildred Bawerman | [email protected]. Последно модифициран: 2024-01-09 22:09

Power Series срещу Taylor Series

В математиката реалната последователност е подреден списък с реални числа. Формално това е функция от множеството естествени числа до множеството реални числа. Ако a _n е n ^-ият член на последователност, ние обозначаваме последователността с или с ₁, a ₂,…, a _n, …. Например, помислете за последователността 1, ½, ⅓,…, ¹ / _n, … Може да се обозначи като {1 / n}.

Възможно е да се определи серия, като се използват последователности. Поредица е сумата от условията на поредица. Следователно за всяка последователност има свързана последователност и обратно. Ако {a _n} е разглежданата последователност, тогава поредицата, образувана от тази последователност, може да бъде представена като:

По този начин, в горния пример, свързаното серия е 1+ ¹ / ₂ + ¹ / ₃ + … + ¹ / _п + ….

Както подсказват имената, степенната серия е специален тип серия и тя се използва широко при числения анализ и свързаното с нея математическо моделиране. Серията Тейлър е специална серия мощности, която осигурява алтернативен и лесен за манипулиране начин за представяне на добре познати функции.

Какво е Power series?

Степенната серия е поредица от формата

което е конвергентно (възможно) за някакъв интервал, центриран в c. Коефициентите a _n могат да бъдат реални или комплексни числа и са независими от x; т.е. фиктивната променлива.

Например чрез задаване на _n = 1 за всяко n и c = 0 се получава степенната серия 1 + x + x ² + ….. + x ⁿ + …. Лесно е да се забележи, че когато x ε (-1,1), тази степенна серия се сближава до 1 / (1-x).

Една степенна степен се сближава, когато x = c. Останалите стойности на x, за които степенната серия се сближава, винаги ще имат формата на отворен интервал, центриран в c. Тоест ще има стойност 0≤ R ≤ ∞ такава, че за всеки x, удовлетворяващ | xc | ≤ R, степенният ред е сходящ и за всеки x, удовлетворяващ | xc |> R, степенният ред е дивергентен. Тази стойност R се нарича радиус на сближаване на степенния ред (R може да приеме всяка реална стойност или положителна безкрайност).

Поредиците от степени могат да се добавят, изваждат, умножават и разделят, като се използват следните правила. Помислете за двете степенни серии:

Тогава,

т.е. подобни термини се добавят или изваждат заедно. Също така е възможно да се умножат и разделят двете степени на степента, използвайки идентичността,

Какво е серията Тейлър?

Поредицата на Тейлър е дефинирана за функция f (x), която е безкрайно диференцируема на интервал. Да приемем, че f (x) е диференцируем на интервал, центриран в c. Тогава степенната серия, която е дадена от

се нарича разширяване на серията на Тейлър на функцията f (x) около c. (Тук f ⁽ⁿ⁾ (c) означава n ^-то производно при x = c). В Numerical Analysis, краен брой членове в това безкрайно разширение се използват при изчисляване на стойности в точки, където серията е конвергентна към първоначалната функция.

За функция f (x) се казва, че е аналитична в интервала (a, b), ако за всеки x ε (a, b) поредицата на Тейлър от f (x) се сближава с функцията f (x). Например 1 / (1-x) е аналитичен на (-1,1), тъй като неговото разширение на Тейлър 1 + x + x ² + ….. + x ⁿ + … се сближава с функцията на този интервал и e ^x е аналитична навсякъде, тъй като поредицата на Тейлър от e ^{x се} сближава с e ^x за всяко реално число x.