Riemann Integral срещу Lebesgue Integral
Интеграцията е основна тема в смятането. В по-широк смисъл интеграцията може да се разглежда като обратен процес на диференциация. Когато се моделират реални проблеми, е лесно да се напишат изрази, включващи производни. В такава ситуация операцията за интегриране се изисква, за да се намери функцията, която даде конкретната производна.
От друг ъгъл интегрирането е процес, който обобщава произведението на функция ƒ (x) и δx, където δx има тенденция да бъде определена граница. Ето защо използваме символа за интеграция като ∫. Символът ∫ е всъщност това, което получаваме, като разтягаме буквата s, за да се отнася за сума.
Riemann Integral
Да разгледаме функция y = ƒ (x). Интегралът на y между a и b, където a и b принадлежат към множество x, се записва като b ∫ a ƒ (x) dx = [F (x)] a → b = F (b) - F (a). Това се нарича определен интеграл от еднозначната и непрекъсната функция y = ƒ (x) между a и b. Това дава площта под кривата между a и b. Това се нарича още Риманов интеграл. Риман интеграл е създаден от Бернхард Риман. Интегралът на Риман от непрекъсната функция се основава на Йордановата мярка, следователно той също се определя като граница на сумите на Риман на функцията. За реална стойностна функция, дефинирана на затворен интервал, интегралът на Риман на функцията по отношение на дял x 1, x 2, …, x nдефиниран на интервала [a, b] и t 1, t 2,…, t n, където x i ≤ t i ≤ x i + 1 за всеки i ε {1, 2,…, n}, дефинирана е сумата на Риман като Σ i = o до n-1 ƒ (t i) (x i + 1 - x i).
Lebesgue Integral
Lebesgue е друг вид интеграл, който обхваща голямо разнообразие от случаи, отколкото интегралът на Риман. Интегралът на лебега е въведен от Анри Лебег през 1902 г. Интеграцията на легес може да се разглежда като обобщение на интеграцията на Риман.
Защо трябва да изучаваме друг интеграл?
Нека разгледаме характеристичната функция ƒ A (x) = { 0 if, x not ε A 1 if, x ε A на множество A. Тогава крайна линейна комбинация от характеристични функции, която се определя като F (x) = Σ a i ƒ E i (x) се нарича проста функция, ако E i е измерима за всеки i. Интегралът на Лебег от F (x) над E се обозначава с E ∫ ƒ (x) dx. Функцията F (x) не е интегрируема по Риман. Следователно интегралът на Лебег е префразиран интеграл на Риман, който има някои ограничения върху функциите, които трябва да бъдат интегрирани.
Каква е разликата между Riemann Integral и Lebesgue Integral?
· Интегралът на Лебег е форма на обобщение на интеграла на Риман.
· Интегралът на Лебег позволява преброима безкрайност на прекъсванията, докато интегралът на Риман позволява краен брой прекъсвания.
