Асоциативно срещу Комутативно
В ежедневния ни живот трябва да използваме числа, когато трябва да вземем мярка за нещо. В хранителния магазин, на бензиностанцията и дори в кухнята трябва да събираме, изваждаме и умножаваме две или повече количества. От нашата практика ние извършваме тези изчисления съвсем без усилия. Никога не забелязваме и не поставяме под въпрос защо правим тези операции по този конкретен начин. Или защо тези изчисления не могат да бъдат направени по различен начин. Отговорът се крие в начина, по който тези операции са дефинирани в математическото поле на алгебра.
В алгебрата операция, включваща две величини (като събиране), се дефинира като двоична операция. По-точно това е операция между два елемента от набор и тези елементи се наричат „операнд“. Много операции по математика, включително аритметични операции, споменати по-рано, и тези, срещани в теорията на множествата, линейната алгебра и математическата логика, могат да бъдат определени като двоични операции.
Съществува набор от управляващи правила, отнасящи се до конкретна двоична операция. Асоциативните и комутативните свойства са две основни свойства на двоичните операции.
Повече за комутативната собственост
Да предположим, че върху елементите A и B се изпълнява някаква двоична операция, обозначена със символа ⊗. Ако редът на операндите не засяга резултата от операцията, тогава операцията се казва комутативна. т.е. ако A ⊗ B = B ⊗ A, тогава операцията е комутативна.
Аритметичните операции събиране и умножение са комутативни. Редът на числата, събрани или умножени заедно, не влияе на крайния отговор:
A + B = B + A ⇒ 4 + 5 = 5 + 4 = 9
A × B = B × A ⇒ 4 × 5 = 5 × 4 = 20
Но в случай на деление промяната в реда дава реципрочното на другото, а при изваждане промяната дава отрицателното на другото. Следователно, A - B ≠ B - A ⇒ 4 - 5 = -1 и 5 - 4 = 1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5 = 0,8 и 5 ÷ 4 = 1,25 [в този случай A, B ≠ 1 и 0]
Всъщност се казва, че изваждането е антикомутативно; където A - B = - (B - A).
Също така логическите съединителни връзки, конюнкцията, дизюнкцията, импликацията и еквивалентността също са комутативни. Функциите на истината също са комутативни. Обединените операции и пресечната точка са комутативни. Събирането и скаларното произведение на векторите също са комутативни.
Но векторното изваждане и векторният продукт не са комутативни (векторният продукт на два вектора е антикомутативен). Събирането на матрицата е комутативно, но умножението и изваждането не са комутативни. (Умножението на две матрици може да бъде комутативно в специални случаи, като умножаването на матрица с нейната обратна или матрицата на идентичността; но определено матриците не са комутативни, ако матриците не са с еднакъв размер)
Повече за асоциативното имущество
За двоична операция се казва, че е асоциативна, ако редът на изпълнение не засяга резултата, когато са налице две или повече повторения на оператора. Да разгледаме елементите A, B и C и двоичната операция ⊗. Казва се, че операцията ⊗ е асоциативна, ако
A ⊗ B ⊗ C = A ⊗ (B ⊗ C) = (A ⊗ B) ⊗ C
От основните аритметични функции само събирането и умножението са асоциативни.
A + (B + C) = (A + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3) = (5 + 4) + 3 = 12
A × (B × C) = (A × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3) = (5 × 4) × 3 = 60
Изваждането и делението не са асоциативни;
A - (B - C) ≠ (A - B) - C ⇒ 4 - (5 - 3) = 2 и (5 - 4) - 3 = -2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3) = 2,4 и (5 ÷ 4) ÷ 3 = 0,2666
Дизюнкцията, конюнкцията и еквивалентността на логическите съединителни елементи са асоциативни, както и обединението и пресичането на множеството операции. Матрицата и векторното добавяне са асоциативни. Скаларният продукт на вектори е асоциативен, но векторният продукт не е. Умножението на матрици е асоциативно само при специални обстоятелства.
Каква е разликата между комутативна и асоциативна собственост?
• Както асоциативното, така и комутативното свойство са специални свойства на двоичните операции и някои ги удовлетворяват, а други не.
• Тези свойства могат да се видят в много форми на алгебрични операции и други бинарни операции в математиката, като пресичането и обединението в теорията на множествата или логическите съединителни връзки.
• Разликата между комутативното и асоциативното е, че комутативното свойство заявява, че редът на елементите не променя крайния резултат, докато асоциативното свойство заявява, че редът, в който се извършва операцията, не влияе на крайния отговор.
