Линейни срещу нелинейни диференциални уравнения
Уравнение, съдържащо поне един диференциален коефициент или производно на неизвестна променлива, е известно като диференциално уравнение. Диференциалното уравнение може да бъде или линейно, или нелинейно. Обхватът на тази статия е да обясни какво е линейно диференциално уравнение, какво е нелинейно диференциално уравнение и каква е разликата между линейни и нелинейни диференциални уравнения.
От развитието на смятането през 18 век от математици като Нютон и Лайбниц, диференциалното уравнение играе важна роля в историята на математиката. Диференциалните уравнения са от голямо значение в математиката поради обхвата им на приложение. Диференциалните уравнения са в основата на всеки модел, който разработваме, за да обясним всеки сценарий или събитие в света, независимо дали е във физиката, инженерството, химията, статистиката, финансовия анализ или биологията (списъкът е безкраен). Всъщност, докато смятането не се превърне в утвърдена теория, не бяха налични подходящи математически инструменти за анализ на интересните проблеми в природата.
Получените уравнения от конкретно приложение на смятане могат да бъдат много сложни и понякога неразрешими. Има обаче такива, които можем да разрешим, но може да изглеждат еднакво и объркващо. Следователно, за по-лесно идентифициране диференциалните уравнения се категоризират по математическото им поведение. Линейно и нелинейно е една такава категоризация. Важно е да се идентифицира разликата между линейните и нелинейните диференциални уравнения.
Какво е линейно диференциално уравнение?
Да предположим, че f: X → Y и f (x) = y, диференциално уравнение без нелинейни членове на неизвестната функция y и нейните производни е известно като линейно диференциално уравнение.
Той налага условието y да не може да има по-високи индексни членове като y 2, y 3, … и кратни производни като
Също така не може да съдържа нелинейни термини като Sin y, e y ^ -2 или ln y. Приема формата,
където y и g са функции на x. Уравнението е диференциално уравнение от порядък n, което е индексът на производната от най-високия ред.
В линейно диференциално уравнение диференциалният оператор е линеен оператор и решенията образуват векторно пространство. В резултат на линейния характер на набора от решения, линейната комбинация от решения също е решение на диференциалното уравнение. Тоест, ако y 1 и y 2 са решения на диференциалното уравнение, тогава C 1 y 1 + C 2 y 2 също е решение.
Линейността на уравнението е само един параметър на класификацията и може допълнително да се категоризира в хомогенни или нехомогенни и обикновени или частични диференциални уравнения. Ако функцията е g = 0, тогава уравнението е линейно хомогенно диференциално уравнение. Ако f е функция от две или повече независими променливи (f: X, T → Y) и f (x, t) = y, тогава уравнението е линейно диференциално уравнение с частични разлики.
Метод за решение на диференциалното уравнение зависи от вида и коефициентите на диференциалното уравнение. Най-лесният случай възниква, когато коефициентите са постоянни. Класически пример за този случай е вторият закон за движение на Нютон и различните му приложения. Вторият закон на Нютон създава линейно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти.
Какво е нелинейно диференциално уравнение?
Уравненията, които съдържат нелинейни термини, са известни като нелинейни диференциални уравнения.
Всичко по-горе са нелинейни диференциални уравнения. Нелинейните диференциални уравнения са трудни за решаване, поради което е необходимо внимателно проучване, за да се получи правилно решение. В случай на уравнения с частични диференциали, повечето от уравненията нямат общо решение. Следователно всяко уравнение трябва да се третира независимо.
Уравнението на Навие-Стокс и уравнението на Ойлер в динамиката на флуидите, полевите уравнения на Айнщайн с обща теория на относителността са добре известни нелинейни диференциални уравнения в частни случаи. Понякога прилагането на уравнението на Лагранж към променлива система може да доведе до система от нелинейни диференциални уравнения в частните.
Каква е разликата между линейни и нелинейни диференциални уравнения?
• Диференциално уравнение, което има само линейните членове на неизвестната или зависимата променлива и нейните производни, е известно като линейно диференциално уравнение. Той няма термин със зависимата променлива с индекс, по-висок от 1, и не съдържа кратно от нейните производни. Той не може да има нелинейни функции като тригонометрични функции, експоненциална функция и логаритмични функции по отношение на зависимата променлива. Всяко диференциално уравнение, което съдържа гореспоменатите термини, е нелинейно диференциално уравнение.
• Решенията на линейни диференциални уравнения създават векторно пространство и диференциалният оператор също е линеен оператор във векторното пространство.
• Решенията на линейни диференциални уравнения са относително по-лесни и съществуват общи решения. За нелинейните уравнения в повечето случаи общото решение не съществува и решението може да е специфично за проблема. Това прави решението много по-трудно от линейните уравнения.
