Население срещу примерно стандартно отклонение
В статистиката се използват няколко индекса, за да се опише набор от данни, съответстващ на неговата централна тенденция, дисперсия и изкривяване. Стандартното отклонение е една от най-често срещаните мерки за разпръскване на данни от центъра на набора от данни.
Поради практически трудности няма да е възможно да се използват данни от цялата популация, когато се тества хипотеза. Следователно ние използваме стойности на данни от проби, за да направим изводи за популацията. В такава ситуация те се наричат оценители, тъй като оценяват стойностите на параметрите на популацията.
Изключително важно е да се използват непредубедени оценители за извод. Казва се, че оценителят е безпристрастен, ако очакваната стойност на този оценител е равна на параметъра на популацията. Например, ние използваме примерната средна стойност като непредубеден оценител за средната популация. (Математически може да се покаже, че очакваната стойност на средната стойност на извадката е равна на средната популация). В случай на оценка на стандартното отклонение на популацията, стандартното отклонение на извадката също е непредубеден оценител.
Какво е стандартното отклонение на населението?
Когато могат да бъдат взети предвид данни от цялото население (например в случай на преброяване), е възможно да се изчисли стандартното отклонение на популацията. За да се изчисли стандартното отклонение на популацията, първо се изчисляват отклоненията на стойностите на данните от средната популация. Средният квадрат (квадратична средна стойност) на отклоненията се нарича стандартно отклонение на популацията.
В клас от 10 ученици могат лесно да се събират данни за учениците. Ако се тества хипотеза върху тази популация от ученици, няма нужда да се използват примерни стойности. Например теглото на 10-те ученика (в килограми) се измерва като 70, 62, 65, 72, 80, 70, 63, 72, 77 и 79. Тогава средното тегло на десетте души (в килограми) е (70 + 62 + 65 + 72 + 80 + 70 + 63 + 72 + 77 + 79) / 10, което е 71 (в килограми). Това е средното население.
Сега, за да изчислим стандартното отклонение на популацията, ние изчисляваме отклоненията от средната стойност. Съответните отклонения от средната стойност са (70 - 71) = -1, (62 - 71) = -9, (65 - 71) = -6, (72 - 71) = 1, (80 - 71) = 9, (70 - 71) = -1, (63 - 71) = -8, (72 - 71) = 1, (77 - 71) = 6 и (79 - 71) = 8. Сумата от квадратите на отклонение е (-1) 2 + (-9) 2 + (-6) 2 + 1 2 + 9 2 + (-1) 2 + (-8) 2 + 1 2 + 6 2 + 8 2 = 366. Стандартното отклонение на популацията е √ (366/10) = 6,05 (в килограми). 71 е точното средно тегло на учениците от класа и 6.05 е точното стандартно отклонение на теглото от 71.
Какво е стандартното отклонение на пробата?
Когато за оценка на параметрите на популацията се използват данни от проба (с размер n), се изчислява стандартното отклонение на пробата. Първо се изчисляват отклоненията на стойностите на данните от средната стойност на извадката. Тъй като средното за извадката се използва вместо средното за популацията (което е неизвестно), вземането на квадратичното средно не е подходящо. За да се компенсира използването на примерна средна стойност, сумата на квадратите на отклоненията се разделя на (n-1) вместо n. Примерното стандартно отклонение е квадратният корен от това. В математическите символи S = √ {∑ (x i -ẍ) 2 / (n-1)}, където S е стандартното отклонение на извадката, mean е средната стойност на извадката и x i ’s са точките от данни.
Сега приемете, че в предишния пример населението са учениците на цялото училище. Тогава класът ще бъде само проба. Ако тази проба се използва при оценката, стандартното отклонение на пробата ще бъде √ (366/9) = 6,38 (в килограми), тъй като 366 е разделен на 9 вместо на 10 (размера на пробата). Фактът, който трябва да се отбележи е, че това не е гарантирано, че е точната стойност на стандартното отклонение на популацията. Това е просто оценка за това.
Каква е разликата между стандартното отклонение на популацията и стандартното отклонение на извадката?
• Стандартното отклонение на популацията е точната стойност на параметъра, използвана за измерване на дисперсията от центъра, докато стандартното отклонение на пробата е обективна оценка за него.
• Стандартното отклонение на популацията се изчислява, когато са известни всички данни за всеки индивид от популацията. В противен случай се изчислява стандартното отклонение на пробата.
• Стандартното отклонение на популацията се дава чрез σ = √ {∑ (xi-µ) 2 / n}, където µ е средното население и n е размерът на популацията, но стандартното отклонение на извадката е дадено от S = √ {∑ (xi-ẍ) 2 / (n-1)} където ẍ е средната стойност на пробата и n е размерът на пробата.
