Логаритмично срещу експоненциално | Експоненциална функция срещу логаритмична функция
Функциите са един от най-важните класове математически обекти, които се използват широко в почти всички подполета на математиката. Тъй като имената им предполагат, че експоненциалната функция и логаритмичната функция са две специални функции.
Функцията е връзка между два набора, дефинирани по такъв начин, че за всеки елемент от първия набор стойността, която му съответства във втория набор, е уникална. Нека ƒ е функция, дефинирана от множеството A в множество B. Тогава за всеки x ϵ A, символът ƒ (x) означава уникалната стойност в множеството B, която съответства на x. Нарича се образът на x под ƒ. Следователно отношението ƒ от A към B е функция, ако и само ако, за всеки x ϵ A и y ϵ A, ако x = y, тогава ƒ (x) = ƒ (y). Множеството A се нарича домейн на функцията ƒ и това е множеството, в което е дефинирана функцията.
Какво е експоненциална функция?
Експоненциалната функция е функцията, дадена от ƒ (x) = e x, където e = lim (1 + 1 / n) n (≈ 2.718…) и е трансцендентално ирационално число. Една от специалностите на функцията е, че производната на функцията е равна на себе си; т.е. когато y = e x, dy / dx = e x. Също така, функцията е навсякъде непрекъснато нарастваща функция, имаща оста x като асимптота. Следователно функцията също е една към една. За всеки x ϵ R имаме, че e x > 0, и може да се покаже, че е върху R +. Също така, следва основната идентичност e x + y = e x.e y и e 0= 1. Функцията може да бъде представена и чрез разширяване на серията, дадено от 1 + x / 1! + Х 2 /2! + Х 3 /3! +… + X n / n! + …
Какво е логаритмична функция?
Логаритмичната функция е обратната на експоненциалната функция. Тъй като експоненциалната функция е едно към едно и към R +, функция g може да бъде дефинирана от множеството положителни реални числа в множеството реални числа, дадени от g (y) = x, ако и само ако = e x. Тази функция g се нарича логаритмична функция или най-често като естествен логаритъм. Обозначава се с g (x) = log e x = ln x. Тъй като това е обратното на експоненциалната функция, ако вземем отражението на графиката на експоненциалната функция върху линията y = x, тогава ще имаме графиката на логаритмичната функция. По този начин функцията е асимптотична спрямо оста y.
Логаритмичната функция следва някои основни правила, от които ln xy = ln x + ln y, ln x / y = ln x - ln y и ln xy = y ln x са най-важните. Това също е нарастваща функция и тя е непрекъсната навсякъде. Следователно това е и едно към едно. Може да се покаже, че е върху R.
Каква е разликата между експоненциална функция и логаритмична функция?
• Експоненциалната функция се дава от ƒ (x) = e x, докато логаритмичната функция се дава от g (x) = ln x, а първият е обратната на последния.
• Областта на експоненциалната функция е набор от реални числа, но областта на логаритмичната функция е набор от положителни реални числа.
• Обхватът на експоненциалната функция е набор от положителни реални числа, но обхватът на логаритмичната функция е набор от реални числа.
