Определени срещу неопределени интеграли
Калкулацията е важен клон на математиката и диференциацията играе критична роля в смятането. Обратният процес на диференциация е известен като интеграция, а обратният е известен като интеграл, или просто казано, обратното на диференциацията дава интеграл. Въз основа на резултатите, които те произвеждат, интегралите се разделят на два класа; определени и неопределени интеграли.
Повече за неопределени интеграли
Неопределеният интеграл е по-скоро обща форма на интегриране и може да се тълкува като антидеривата на разглежданата функция. Да предположим, че диференцирането на F дава f, а интегрирането на f дава интеграла. Често се записва като F (x) = ∫ƒ (x) dx или F = ∫ƒ dx, където и F, и ƒ са функции на x и F е диференцируемо. В горната форма тя се нарича интеграл на Рейман и получената функция придружава произволна константа. Неопределен интеграл често създава семейство от функции; следователно интегралът е неопределен.
Интегралите и интеграционният процес са в основата на решаването на диференциални уравнения. Въпреки това, за разлика от диференциацията, интеграцията не винаги следва ясна и стандартна рутина; понякога решението не може да бъде изразено изрично чрез елементарна функция. В този случай аналитичното решение често се дава под формата на неопределен интеграл.
Повече за определени интеграли
Определените интеграли са много ценните аналози на неопределени интеграли, при които процесът на интегриране всъщност създава краен брой. Тя може да бъде графично дефинирана като площ, ограничена от кривата на функцията ƒ в рамките на даден интервал. Всеки път, когато се извършва интегриране в рамките на определен интервал от независимата променлива, интеграцията произвежда определена стойност, която често се изписва като един ∫ б ƒ (х) DX или на ∫ б ƒdx.
Неопределените интеграли и определени интеграли са свързани помежду си чрез първата фундаментална теорема за смятане и това позволява определеният интеграл да бъде изчислен чрез неопределените интеграли. Теоремата гласи a ∫ b ƒ (x) dx = F (b) -F (a), където и F, и ƒ са функции на x, а F е диференцируем в интервала (a, b). Като се има предвид интервала, a и b са известни съответно като долна и горна граница.
Вместо да спира само с реални функции, интеграцията може да бъде разширена до сложни функции и тези интеграли се наричат контурни интеграли, където ƒ е функция на сложната променлива.
Каква е разликата между определените и неопределените интеграли?
Неопределените интеграли представляват антидериват на функция и често семейство от функции, а не определено решение. При определени интеграли интегрирането дава крайно число.
Неопределените интеграли свързват произволна променлива (следователно семейството от функции), а определените интеграли нямат произволна константа, а горна граница и долна граница на интегриране.
Неопределен интеграл обикновено дава общо решение на диференциалното уравнение.
