Серия Фурие срещу преобразуване на Фурие
Поредицата на Фурие разлага периодична функция в сбор от синуси и косинуси с различни честоти и амплитуди. Поредицата на Фурие е клон на анализа на Фурие и е въведена от Джоузеф Фурие. Преобразуването на Фурие е математическа операция, която пробива сигнал към съставните му честоти. Оригиналният сигнал, който се е променил във времето, се нарича представяне на сигнала във временната област. Преобразуването на Фурие се нарича представяне на сигнал в честотната област, тъй като зависи от честотата. Представянето на сигнал в честотната област и процесът, използван за трансформиране на този сигнал в честотната област, се наричат преобразуване на Фурие.
Какво е серия Фурие?
Както бе споменато по-рано, серията на Фурие е разширение на периодична функция, използваща безкрайна сума от синуси и косинуси. Поредицата на Фурие първоначално е разработена при решаване на топлинни уравнения, но по-късно е установено, че същата техника може да се използва за решаване на голям набор от математически задачи, особено на проблемите, които включват линейни диференциални уравнения с постоянни коефициенти. Сега серията Фурие има приложения в голям брой области, включително електротехника, анализ на вибрациите, акустика, оптика, обработка на сигнали, обработка на изображения, квантова механика и иконометрия. Поредиците на Фурие използват отношенията на ортогоналността на синусоида и косинус функции. Изчисляването и изследването на редици на Фурие е известно като хармоничен анализ и е много полезно при работа с произволни периодични функции,тъй като позволява да се раздели функцията на прости термини, които могат да се използват за получаване на решение на първоначалния проблем.
Какво представлява преобразуването на Фурие?
Преобразуването на Фурие дефинира връзка между сигнал във времевата област и представянето му в честотната област. Преобразуването на Фурие разлага една функция на колебателни функции. Тъй като това е трансформация, оригиналният сигнал може да бъде получен от познаването на трансформацията, като по този начин не се създава или губи информация в процеса. Изследването на редиците на Фурие всъщност осигурява мотивация за преобразуването на Фурие. Поради свойствата на синусите и косинусите е възможно да се възстанови количеството на всяка вълна, която допринася за сумата, като се използва интеграл. Преобразуването на Фурие има някои основни свойства като линейност, транслация, модулация, мащабиране, конюгация, двойственост и конволюция. Преобразуването на Фурие се прилага при решаване на диференциални уравнения, тъй като преобразуването на Фурие е тясно свързано с преобразуването на Лаплас. Преобразуването на Фурие също се използва в ядрено-магнитен резонанс (ЯМР) и в други видове спектроскопия.
Разлика между серията на Фурие и трансформацията на Фурие
Поредицата на Фурие е разширяване на периодичния сигнал като линейна комбинация от синуси и косинуси, докато преобразуването на Фурие е процес или функция, използвана за преобразуване на сигнали от времева област в честотна област. Редиците на Фурие са дефинирани за периодични сигнали и преобразуването на Фурие може да се приложи към апериодични (възникващи без периодичност) сигнали. Както бе споменато по-горе, изследването на редиците на Фурие всъщност осигурява мотивация за преобразуването на Фурие.
